Patrones infinitos ocultos a la vista en la arquitectura islámica medieval.
Los patrones de formas geométricas repetitivas están por todas partes. Echa un vistazo a tu alrededor y mira si hay alguno que pueda reconocer: quizá el patrón regular de las baldosas cuadradas del techo de tu aula, los hexágonos decorativos que cubren el suelo de tu cocina o incluso el patrón de tablero de ajedrez que decora tu ropa.
Cuando las formas geométricas regulares encajan entre sí y cubren una superficie, los matemáticos lo llaman teselación o mosaico. Estos mosaicos están por todas partes, desde la escala humana, como los hexágonos de una colmena, hasta la escala atómica, como el entramado de átomos que forman los materiales sólidos.
Las inclinaciones periódicas de los cristales incluyen cosas como la red de panal que se encuentra dentro de una colmena o las pilas regulares de átomos que componen los materiales sólidos
El arte del alicatado
El ser humano lleva miles de años utilizando los mosaicos como decoración. Las culturas antiguas, desde la India hasta Mesopotamia y el Mediterráneo, utilizaban los azulejos para crear hermosos y complejos diseños que, sin embargo, tenían un patrón simple y repetitivo. Cuando los patrones geométricos se hacen a partir de un número determinado de formas básicas que se repiten una y otra vez, se crea lo que se llama un mosaico periódico. Los mosaicos periódicos tienen una célula unitaria base que se mueve y gira para rellenar el espacio del plano.
Los patrones geométricos hechos con azulejos son especialmente importantes en la arquitectura islámica, que evita utilizar imágenes de personas en la decoración. En cambio, muchas estructuras construidas en el antiguo mundo islámico estaban decoradas con elaborados diseños geométricos de cuadrados, círculos, estrellas u otros polígonos regulares repetidos. Estos patrones decorativos son complicados, pero también muy simétricos. Si tomas una sección del patrón, por ejemplo, puedes trasladarla (moverla hacia arriba y hacia abajo o hacia la izquierda y la derecha) o rotarla (hacerla girar) y encontrar otras secciones que coincidan exactamente.
Este es un ejemplo de un patrón de azulejos periódico. ¿Cuáles son las formas más básicas que necesitas para hacer este patrón? Se trata de la celda unitaria del cristal. Moviendo y rotando la celda unidad, puedes crear el patrón de repetición del cristal.
Aquí tienes algunos ejemplos de patrones geométricos de un palacio islámico de España llamado la Alhambra. ¿Puedes encontrar algún elemento que se repita? ¿Cuáles son las formas base que componen el patrón?
Cuasicristales: ¿Un patrón imposible?
El ser humano lleva milenios creando patrones de repetición a partir de formas. ¿Pero qué pasa con un patrón que no se repite? ¿Existe alguna forma de tomar un número determinado de formas y encajarlas sin que se produzca un patrón regular y periódico, aunque se sigan colocando las fichas para siempre? Durante mucho tiempo, los matemáticos pensaron que esto era imposible. No fue hasta las décadas de 1970 y 1980 cuando los científicos modernos empezaron a ver pruebas de estos extraños patrones de cristal, llamados cristales cuasiperiódicos, o cuasicristales para abreviar. Pero hay pruebas de que los humanos podrían haber descubierto cómo crear estos misteriosos patrones infinitos y no repetitivos hace cientos y cientos de años. Esta prueba estaba escondida a la vista en los azulejos geométricos de un antiguo edificio islámico.
Pero, ¿qué es un cuasicristal? Para que algo sea un cristal, tiene que formar un mosaico completo en el plano, lo que significa que cuando se colocan las piezas de un cristal de borde a borde, puede continuar hasta el infinito sin espacios intermedios. Los cuasicristales pueden embaldosar el plano, pero no son periódicos como los cristales normales. Esto significa que no tienen las mismas simetrías de traslación de las que hemos hablado antes. En un cuasicristal, no puedes dibujar una caja alrededor de una sección, mover esa sección y continuar el patrón. Siempre hay un desajuste, incluso si tienes una caja realmente enorme. Puedes mirar hasta el infinito para intentar encontrar una caja lo suficientemente grande como para repetir el patrón, ¡pero nunca la encontrarás!
No parece que este tipo de patrón pueda existir, pero en realidad hay formas de hacer un cuasicristal con unas pocas reglas sencillas. Un ejemplo es con algo llamado azulejos de Penrose. Con sólo dos formas simples, llamadas "cometa" y "dardo", junto con algunas reglas sencillas sobre cómo conectarlas, puedes crear tu propio patrón de cuasicristales (si tienes curiosidad, echa un vistazo a nuestras actividades más abajo para aprender más sobre las cometas y los dardos y ver qué puedes hacer).
Con sólo dos simples fichas, llamadas cometa y dardo, puedes hacer un patrón complejo que nunca se repite. ¿Puedes encontrar una sección que coincida sólo deslizando esa sección a la izquierda y a la derecha? ¿Y girando la sección?
Aunque el patrón de Penrose no se desarrolló hasta 1974, recientemente se han encontrado pruebas de este tipo de patrones en la arquitectura medieval de Oriente Medio y Asia Central. Los investigadores, entre los que se encuentran físicos y arquitectos, se dieron cuenta de que algunos edificios antiguos, construidos en torno al año 1200 de la era cristiana, tenían patrones que parecían diferentes a los mosaicos geométricos ordenados que son típicos del estilo de decoración. Al examinarlos más de cerca, nos dimos cuenta de que estos azulejos antiguos tenían el mismo patrón que los cuasicristales. En algunas regiones, los patrones eran casi perfectos, construidos más de 500 años antes de que naciera Roger Penrose. Los pocos errores que existen en el patrón podrían arreglarse fácilmente volteando una de las baldosas. Así que los científicos creen que esos fallos son simples errores cometidos por la persona que organiza las baldosas, no errores matemáticos cometidos por los diseñadores.
Este patrón se encuentra en el santuario de Darb-i, en Irán, y fue realizado en 1453. El patrón, recreado a partir de las formas base (cada una de ellas coloreada de forma diferente), no tiene simetría traslacional y nunca se repite, incluso si se continúa para siempre.
Aunque estos patrones no son eternos (si no, necesitaríamos un número infinito de azulejos y una pared infinitamente larga), se podría continuar con los patrones hasta el infinito utilizando sólo unos pocos azulejos decorados con líneas conectadas, como el diseño de los azulejos de Penrose. Estos azulejos se llaman azulejos girih. Permitían a los antiguos artistas del azulejo hacer patrones cada vez más complicados simplemente alternando entre los azulejos que tenían, como si se tratara de colocar las piezas de un puzzle. Este proceso de teselación es mucho más fácil que dibujar todas las líneas con una regla y un compás. El producto final de líneas en zigzag y formas geométricas superpuestas es casi vertiginoso a la vista, pero hay patrones que se pueden captar si se mira lo suficiente.
Los patrones de cuasicristales del santuario de Darb-i parecen muy complicados, pero están hechos con sólo unas pocas baldosas que se repiten.
Oculto a simple vista
Durante siglos, los matemáticos y científicos pensaron que no podía existir un patrón regular que no se repitiera. Pero una vez que los matemáticos occidentales teorizaron que podían existir los cuasicristales, empezaron a aparecer pruebas de ellos por todas partes. En minerales raros, en algunas aleaciones de aluminio e incluso en la arena fundida de una explosión nuclear, los científicos encontraron estructuras cristalinas no periódicas. Cuanto más cerca miraban los científicos, más ejemplos de cuasicristales encontraban. Pero resulta que los humanos ya habían descubierto cómo hacer estos patrones, antes imposibles, hace 500 años en Asia Central. Ahora estamos empezando a apreciar la complejidad de estos patrones en los edificios islámicos medievales. ¿Qué otro gran descubrimiento podría estar oculto a la vista como estos antiguos cuasicristales? Quién sabe lo que se puede encontrar si se empieza a mirar con atención.
Fotos cortesía de Wikimedia Commons, "Decagonal and Quasi-Crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture" por P.J. Lu y P.J. Steinhardt, y AlhambraDeGranada.org
Traducido por Salva Rosauro Alcaraz
Escrito por Caroline Martin
Editado por Madelyn Leembruggen
Ilustrado por Taylor Contreras
Fuentes y lecturas adicionales:
Ancient Islamic architects created perfect quasicrystals del Physics World
Islamic Artisans Constructed Exotic Nonrepeating Pattern 500 Years Before Mathematicians del Scientific American
In Medieval Architecture, Signs of Advanced Math del the New York Times