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Matemáticas antiguas: Las fracciones en Egipto

No dejes de consultar el post anterior de nuestra serie Matemáticas Antiguas: Los triángulos en Egipto.


Ahora que sabemos que en las antiguas civilizaciones abundaban los conocimientos y las matemáticas similares a los que estudiamos hoy en día, ¡profundicemos en parte de la sabiduría del antiguo Egipto! Recuerda que la gente de las civilizaciones antiguas tenía muchos de los mismos problemas que tenemos ahora: necesitaban medir la tierra, dividir los recursos, construir estructuras sólidas y seguir los cambios de las estaciones y el clima. Estas cuestiones prácticas son las que inspiraron a los primeros matemáticos de la antigüedad a crear sus propios sistemas numéricos y aritméticos.

La última vez, aprendimos cómo los antiguos egipcios utilizaban los triples pitagóricos para medir los ángulos rectos al construir edificios y templos. Las relaciones utilizadas en sus herramientas de cuerda anudada contenían números enteros, y los historiadores no han encontrado ninguna prueba de que tuvieran un conocimiento explícito de los números irracionales. Esto sugiere que los matemáticos egipcios observaban las proporciones en los triángulos por medio de la observación intuitiva y no del cálculo exacto.



Hay innumerables ejemplos de triángulos pitagóricos que contienen números irracionales; por ejemplo, el triángulo rectángulo 45°-45°-90° tiene una hipotenusa de √2, que es un número irracional. Así que el hecho de que los antiguos egipcios se ciñeran a los triángulos que contenían medidas de números enteros es un ejemplo fascinante de la forma en que utilizaban lo que tenían a su alcance, es decir, las proporciones que podían calcular a mano.


 

Una ventana al pasado


A partir de los numerosos artefactos y documentos que se conservan, está claro que los antiguos egipcios conocían el significado de las proporciones y los números racionales. (Recordemos que un número racional es un número que puede escribirse como una sola fracción, como 2/5 o 1/4). A partir de un documento histórico llamado el Papiro Matemático de Rhind, podemos conocer en profundidad cómo trabajaban los antiguos matemáticos en algunos de sus primeros problemas escritos.

El papiro matemático de Rhind: un documento muy antiguo, largo y detallado que les da a los historiadores un vistazo a las matemáticas del antiguo Egipto.

El Papiro Matemático de Rhind fue escrito por un escriba llamado Ahmes hacia el año 1550 a.C. en la región que hoy llamamos Tebas, situada cerca del río Nilo. El documento mide más de 4 metros de largo y está escrito en un tipo de cursiva egipcia llamada escritura hierática. Si alguna vez te encuentras en el Museo Británico de Londres, asegúrate de echar un vistazo a este impresionante artefacto. Hay muchas secciones diferentes del papiro que se pueden explorar; por ahora, echaremos un vistazo a las formas en que estos antiguos matemáticos expresaban las fracciones.


Hay una tabla de referencia en el Papiro Rhind que enumera un tipo de fracción que los historiadores llaman fracciones egipcias. La tabla consiste en una serie de fracciones de la forma

donde n se sustituye por números enteros impares entre 5 y 101. Los egipcios entendían que los números racionales tenían denominadores que eran múltiplos de números enteros (n = p*q, con p y q números enteros) y eran contables a mano, lo que significa que uno mismo podía contar todos los números de la tabla si quería.


Los egipcios tenían una forma específica de expresar un número racional

con números enteros p y q. El número racional se dividía en fracciones unitarias que se sumaban. (Una fracción unitaria es cualquier fracción con un numerador de 1). La siguiente fórmula está registrada en el Papiro Rhind:

Por ejemplo, esta fórmula puede utilizarse para reescribir el número racional 2/21 con p=3 y q=7:

Obtenemos entonces el resultado:

Puede parecer una forma extraña de reescribir fracciones, pero hay que recordar que los matemáticos antiguos no tenían calculadoras para calcular rápidamente los números. Cuando se hace aritmética a mano, es más fácil pensar en fracciones que tienen todas el mismo numerador de 1 que llevar la cuenta de muchas fracciones de aspecto diferente.


Un número racional puede expresarse como este tipo de fracción egipcia siempre que haya fracciones unitarias únicas que sumen el número racional. Los historiadores no están seguros de por qué los egipcios no querían términos repetidos en sus cálculos. Algunos piensan que podría tener algo que ver con una metáfora espiritual, en la que un numerador de 1 representa a un dios supremo que vigila todas las acciones. En las culturas antiguas, era común que la ciencia y la religión tuvieran significados entrelazados.

 

Una precisión increíble


Hasta donde los historiadores pueden decir, no existía una definición explícita para los números que no cumplían los criterios de las fracciones egipcias... ¡los números que no cumplen esos criterios son los que ahora llamamos irracionales! Sin una definición de irracional, podemos concluir que los antiguos matemáticos egipcios tenían una intuición limitada de la teoría de los números, lo que hace aún más impresionante que lograran una precisión tan notable en sus cálculos y construcciones. Los métodos aritméticos de fuerza bruta de los egipcios les llevaron a descubrir constantes universales, e incluso hay razones para creer que los egipcios utilizaron a propósito las propiedades especiales de los números e y pi, así como la proporción áurea.

 

¿Qué es una constante universal?


Una constante universal es un número que aparece frecuentemente en fórmulas físicas o matemáticas. Algunos ejemplos son los números e, π y ϕ (la proporción áurea). El número denominado matemáticamente "e" se llama número de Euler (se pronuncia como "oil-er"). El número e equivale aproximadamente a 2,718, aunque en realidad los decimales son infinitos. El número pi, escrito π, describe la relación entre la circunferencia de cualquier círculo y su diámetro. Pi equivale aproximadamente a 3,14 y, al igual que e, sus decimales son infinitos. La "proporción áurea", escrita ϕ o φ ("phi", que se pronuncia como "fi"), es igual a aproximadamente 1,618, y también tiene infinitos decimales. La proporción áurea aparece en toda la naturaleza.

 
Una foto de cerca de los bloques utilizados para construir las pirámides.

Aunque los antiguos matemáticos no se dieran cuenta de las propiedades de los números irracionales, es evidente que dominaban las razones y las proporciones. Un ejemplo asombroso de este dominio es la precisión de la Gran Pirámide de Giza. La relación entre la altura y el perímetro de la base es equivalente a la relación entre el radio de un círculo y su circunferencia, que ahora sabemos que se centra en el valor pi. Esto significa que si la altura de la pirámide fuera el diámetro de un círculo, el perímetro de la base sería igual a la circunferencia.

La circunferencia de un círculo es igual al diámetro por pi. El perímetro de la pirámide es igual a la altura de la pirámide por pi.

El ángulo de inclinación de la pirámide se midió a partir de una piedra de revestimiento suelta y fue de 51,85° grados. Si se toma el cociente de los ángulos de los lados de la pirámide y se multiplica por cuatro, se obtiene la constante universal e de Euler, ¡con una precisión del 99,9998%!

Las constantes universales e, pi y phi (la proporción áurea) están integradas en las proporciones de la Gran Pirámide.

Si se toma la longitud de la base de la pirámide y se divide por la mitad, se obtiene el número pi con una precisión del 99,99%. Y si se toma la hipotenusa de los triángulos de la pirámide, se obtiene el número pi multiplicado por la proporción áurea con una precisión del 99,95%.


Si tenemos en cuenta que la pirámide podría haberse construido con cualquier medida al azar, es bastante sorprendente que sean casi exactamente los valores de estos números que son fundamentales para nuestra comprensión del universo.


La asombrosa precisión no termina ahí. La unidad de medida utilizada por los antiguos egipcios se llama cubit. Un cubit equivale a 1,86 pies. Esto puede parecer un número aleatorio en el contexto moderno, pero un cubit es exactamente una proporción de 1/25.000.000 del diámetro de la Tierra.

La altura de la pirámide multiplicada por 43.200 es exactamente el radio polar de la Tierra. El perímetro de la base de la pirámide multiplicado por 43.200 es exactamente la circunferencia del ecuador de la Tierra. Sería normal si estas medidas fueran el resultado de la multiplicación por algún número decimal ultrapreciso, como 40.297,4679. Pero el hecho de que se trate de un cociente de números enteros es lo que todavía deja desconcertados a los historiadores.


La longitud de la base de esquina a esquina tiene una longitud de 365,242 codos: ¡la duración exacta de un año en la época de la construcción era de 365,242 días! Si el punto más alto de la pirámide se expresara como una coordenada, sería 29,9792458°N, que se asemeja notablemente a la velocidad de la luz expresada en metros por segundo: 299.792.458 m/s.

 

Un legado desconcertante


Sigue siendo uno de los mayores misterios históricos si los egipcios sabían que su maravillosa estructura codificaba algunas de las constantes más importantes del mundo y del universo. Un tema de discusión muy popular es cómo los egipcios pudieron lograr una perspectiva aparentemente ampliada, de otro mundo, al reconocer las proporciones de la Tierra como un todo. ¿Cómo crees que lo consiguieron?


Esperamos que ahora te quede claro que las civilizaciones antiguas eran abundantes en sabiduría, conocimiento, habilidad, artesanía y muchas más cualidades asombrosas que siguen siendo una parte fundamental de la vida humana moderna. En el futuro, exploraremos más culturas de todo el mundo y veremos cómo los antiguos matemáticos prepararon el camino para que estudiantes como tú y yo aprendiéramos las matemáticas que utilizamos hoy. Recuerda que cada vez que practicas la trigonometría, utilizas las fracciones al hornear o alineas tu estantería con ángulos rectos perfectos, estás participando en un largo legado de matemáticas prácticas.



Imágenes cortesía de Wikimedia Commons

Traducido por Salva Rosauro Alcaraz

Escrito por Nicole Naporano

Editado por Madelyn Leembruggen

 

¡Explora los números racionales y las constantes universales con estas actividades!


Interactuar (20-40 minutos): Mida algunas cosas alrededor de su casa o salón de clases. ¡Vea si puede encontrar alguna proporción interesante dentro de esas medidas!


Definir (10-20 minutos): Busque en Google "constante universal" y luego intente escribir su propia definición de este término.


Expanda (15-30 minutos): Intente convertir cualquier fracción a una fracción egipcia eligiendo diferentes números enteros p y q.




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